Какие числа называются взаимно простыми? Этот вопрос часто интересует школьников, а также их родителей. Задачи и примеры с взаимно простыми числами входят в задачи по математике, существует большое количество примеров и задач, когда школьники их используют. Сегодня мы подробно поговорим о том, какие числа называются взаимно простыми, приведем примеры на 6 класс. Читайте следующую статью на kakogo-chisla.ru, и вы также узнаете, какие натуральные числа называются взаимно простыми.
Какие числа называются взаимно простыми
Взаимно простые числа — это целые числа, у которых нет общих делителей, кроме единицы. Наибольший общий делитель взаимно простых чисел — это единица, что следует из определения взаимно простых чисел.
Из определения взаимно простых чисел можно сделать вывод, что у двух взаимно простых чисел может быть только один положительный общий делитель, который равен единице. А всего общих делителей у двух взаимно простых чисел два — это 1 и -1. Два простых числа всегда являются взаимно простыми. Однако, два числа не обязательно должны быть простыми, чтобы быть взаимно простыми.
Взаимно простые числа определение: два целых числа a и b называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице — то есть НОД (a, b) = 1. Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
Какие натуральные числа называются взаимно простыми
Натуральные числа a и b называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(a; b) = 1). Другими словами, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты. Часто взаимно простые числа обозначают так: (a, b) .
Два соседних натуральных числа всегда будут взаимно просты. Например, 15 и 16 — пара взаимно простых чисел, также как 16 и 17. Это легко понять, если принять во внимание «правило» о том, что если два натуральных числа a и b делятся на одно и то же натуральное число большее 1 (n > 1), то и их разница также должна делится на это число n (здесь имеется в виду, что a, b и их разность делятся нацело, т. е. кратны числу n).
Но если a и b два соседних числа (пусть a < b), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1. Из определения взаимно простых чисел и простых чисел также следует, что разные простые числа всегда оказываются взаимно простыми. Ведь делителями любого простого числа являются лишь оно само и 1.
Какие 2 числа называются взаимно простыми
Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1. Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.
Вариант определения сохраняется буквально: два целых числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей. Иногда встречается не совсем аккуратная формулировка типа «два числа — натуральных или целых — называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей».
В этом случае как бы забывается о 1 и -1. Такая «забывчивость» оправдана тем, что 1 и -1 — тривиальные делители, они всегда есть, и эту мелочь можно для краткости лишь подразумевать. Доказательство самого критерия взаимной простоты основывается на алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных или целых чисел.
Какие числа называются взаимно простыми 6 класс
Взаимно простые числа тема достаточно сложная тема 6 класса математики. Как и простые числа, тема взаимно простых чисел используется для сложения и вычитания дробей. Разбирая взаимно простые числа в 6 классе, пристальное внимание уделяют понятию «делитель».
Под ним имеют в виду величину, на которую можно разделить величину без остатка. Если разные значения возможно поделить на одно число, делитель называют общим. Например, для 36 и 18 им является 6.
Простыми называют натуральные числа, имеющие только 2 положительных делителя, поэтому можно утверждать о взаимной простоте любых таких чисел. Пара значений необязательно должна быть простой, чтобы быть взаимной.
Либо одно из них, либо сразу оба могут относиться к составному типу и при этом быть взаимно простыми. Следует отметить, что составными называют выражения, превышающие единицу, имеющие 3 и более положительных делителя.
Два натуральных числа называют взаимно простыми, если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1. Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.
Какие числа называются взаимно простыми приведите примеры
Взаимно простыми могут быть как два целых числа, так и их большее количество. На практике довольно часто приходится определять взаимную простоту двух целых чисел. Выяснение этого можно свести к поиску наибольшего общего делителя и сравнению его с единицей.
Также удобно пользоваться таблицей простых чисел, чтобы не производить лишних вычислений: если одно из заданных чисел есть в этой таблице, значит, оно делится только на единицу и само на себя. Разберем решение подобной задачи.
Пример первый — выясните, являются ли взаимно простыми числа 275 и 84: оба числа явно имеют больше одного делителя, поэтому сразу назвать их взаимно простыми мы не можем. Вычисляем наибольший общий делитель, используя алгоритм Евклида: 275=84·3+23, 84=23·3+15, 23=15·1+8, 15=8·1+7, 8=7·1+1, 7=7·1. Поскольку НОД (84, 275) =1, то данные числа будут взаимно простыми.
Пример второй — определите, являются ли числа 331, 463 и 733 взаимно простыми: сверимся с таблицей простых чисел и определим, что все три этих числа в ней есть. Тогда их общим делителем может быть только единица. Все эти числа будут взаимно простыми по отношению друг к другу.
Советуем почитать: Какое число нельзя записать римскими цифрами
Пример третий — приведите доказательство того, что числа −14, 105, −2 107 и −91 не являются взаимно простыми: начнем с выявления их наибольшего общего делителя, после чего убедимся, что он не равен 1. Поскольку у отрицательных чисел те же делители, что и у соответствующих положительных, то НОД (−14, 105, 2 107, −91) =НОД (14, 105, 2 107, 91). Согласно правилам, которые мы привели в статье о нахождении наибольшего общего делителя, в данном случае НОД будет равен семи. Семь больше единицы, значит, взаимно простыми эти числа не являются.
Источники:
- https://skysmart.ru/articles/mathematic/vzaimno-prostye-chisla
- https://matemonline.com/2013/01/relatively-prime/
- https://scienceland.info/algebra8/coprime-integers
- https://school44kgo.ru/prochee/vzaimno-prostye-chisla-ih-svojstva-studencheskij-portal.html
